Algebra di Heyting

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Un'algebra di Heyting (dal matematico olandese Arend Heyting) è la struttura di verità della logica intuizionista.

Un'algebra di Heyting soddisfa queste proprietà: chiusura rispetto all'unione (più in generale, rispetto ad un operatore binario ${\displaystyle \vee }$) e rispetto all'intersezione (operatore binario ${\displaystyle \wedge }$). A differenza dell'algebra di Boole (che rappresenta il modo di ragionare in logica classica), non è necessariamente chiusa rispetto al complemento (negazione): per cui, ogni algebra di Boole è di Heyting. Interpretando delle proposizioni (diciamole A e B) in elementi dell'algebra a e b, l'interpretazione di "${\displaystyle A\wedge B}$" va in ${\displaystyle a\wedge _{H}b}$, mentre "${\displaystyle A\vee B}$" va in ${\displaystyle a\vee _{H}b}$. L'interpretazione di ${\displaystyle A\to B}$ è, come si evince dalla definizione stessa, ${\displaystyle \bigvee \{z:z\wedge a\leq b\}}$.

Un'algebra di Heyting è completa se è chiusa rispetto al ${\displaystyle \vee }$ numerabile, ovvero rispetto all'implicazione.

Esempi di algebre di Heyting complete sono le topologie; una qualsiasi algebra di Heyting può essere immersa in una topologia costruita ad hoc.